คณิตศาสตร์ · easy · pol68-078
กำหนดให้ \(p, q, r\) เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
ข้อ 1. \([(p \lor q) \rightarrow r] \leftrightarrow [\sim r \leftrightarrow (\sim p \land \sim q)]\)
ข้อ 2. \([p \lor (q \land r)] \lor \sim [p \lor (q \land r)]\)
- a.ข้อ 1 เพียงข้อเดียวที่เป็นสัจนิรันดร์
- b.ข้อ 2 เพียงข้อเดียวที่เป็นสัจนิรันดร์
- c.เป็นสัจนิรันดร์ทั้ง 2 ข้อ
- d.ไม่เป็นสัจนิรันดร์ทั้ง 2 ข้อ
เฉลย: ข้อ 2 — ข้อ 2 เพียงข้อเดียวที่เป็นสัจนิรันดร์
วิธีคิด:
ข้อ 2: ให้ \(A = [p \lor (q \land r)]\) ประโยคจะอยู่ในรูป \(A \lor \sim A\) — ตามกฎการแย้งกัน (Law of Excluded Middle) ข้อความใดต้องเป็นจริงหรือเท็จเสมอ ดังนั้นเป็นสัจนิรันดร์ ✓
ข้อ 1: ตรวจสอบ \([(p \lor q) \rightarrow r] \leftrightarrow [\sim r \leftrightarrow (\sim p \land \sim q)]\)
ฝั่งซ้าย \((p \lor q) \rightarrow r \equiv \sim(p\lor q) \lor r \equiv (\sim p \land \sim q) \lor r\)
ฝั่งขวา \(\sim r \leftrightarrow (\sim p \land \sim q)\) เป็น biconditional ไม่เท่ากับฝั่งซ้ายทุกกรณี (เช่น p=T, q=F, r=T จะได้ ซ้าย=T, ขวา=F) จึงไม่เป็นสัจนิรันดร์ ✗
วิธีคิด:
ข้อ 2: ให้ \(A = [p \lor (q \land r)]\) ประโยคจะอยู่ในรูป \(A \lor \sim A\) — ตามกฎการแย้งกัน (Law of Excluded Middle) ข้อความใดต้องเป็นจริงหรือเท็จเสมอ ดังนั้นเป็นสัจนิรันดร์ ✓
ข้อ 1: ตรวจสอบ \([(p \lor q) \rightarrow r] \leftrightarrow [\sim r \leftrightarrow (\sim p \land \sim q)]\)
ฝั่งซ้าย \((p \lor q) \rightarrow r \equiv \sim(p\lor q) \lor r \equiv (\sim p \land \sim q) \lor r\)
ฝั่งขวา \(\sim r \leftrightarrow (\sim p \land \sim q)\) เป็น biconditional ไม่เท่ากับฝั่งซ้ายทุกกรณี (เช่น p=T, q=F, r=T จะได้ ซ้าย=T, ขวา=F) จึงไม่เป็นสัจนิรันดร์ ✗