คณิตศาสตร์ · easy · pol68-080
กำหนด \(A\) และ \(B\) เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ \(\mu\) ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
- a.\((A \cup B)' = A' \cap B'\) และ \((A \cap B)' = A' \cup B'\)
- b.\(A \cap A' = \emptyset\) และ \(A \cup A' = \mu\)
- c.ถ้า \(A \subset B\) แล้ว \(A' \subset B'\)
- d.\(A \cap B = \emptyset\) ก็ต่อเมื่อ \(A \subset B'\) และ \(B \subset A'\)
เฉลย: ข้อ 3 — ถ้า \(A \subset B\) แล้ว \(A' \subset B'\) (ไม่ถูกต้อง)
วิธีคิด: เมื่อ \(A \subset B\) (A เป็นสับเซตของ B) ทุกสมาชิกของ A อยู่ใน B ดังนั้นสมาชิกที่ไม่อยู่ใน B ก็ย่อมไม่อยู่ใน A ด้วย
ที่ถูกคือ \(B' \subset A'\) (กลับด้านกัน) — เรียกว่า contrapositive ของเซต
ตรวจสอบข้ออื่น:
• ข้อ 1 = กฎเดอ มอร์แกน (De Morgan's Laws) ✓
• ข้อ 2 = สมบัติของคอมพลีเมนต์ ✓
• ข้อ 3 = ผิด ที่ถูกต้องคือ \(B' \subset A'\) ✗
• ข้อ 4 = ถ้า A∩B=∅ ทั้งสองเซตแยกกัน ทุกสมาชิก A อยู่นอก B และในทางกลับกัน ✓
วิธีคิด: เมื่อ \(A \subset B\) (A เป็นสับเซตของ B) ทุกสมาชิกของ A อยู่ใน B ดังนั้นสมาชิกที่ไม่อยู่ใน B ก็ย่อมไม่อยู่ใน A ด้วย
ที่ถูกคือ \(B' \subset A'\) (กลับด้านกัน) — เรียกว่า contrapositive ของเซต
ตรวจสอบข้ออื่น:
• ข้อ 1 = กฎเดอ มอร์แกน (De Morgan's Laws) ✓
• ข้อ 2 = สมบัติของคอมพลีเมนต์ ✓
• ข้อ 3 = ผิด ที่ถูกต้องคือ \(B' \subset A'\) ✗
• ข้อ 4 = ถ้า A∩B=∅ ทั้งสองเซตแยกกัน ทุกสมาชิก A อยู่นอก B และในทางกลับกัน ✓